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行列式の展開

2022-10-08

ここでは \(n\) 次の行列式を \(n-1\) 次の行列式と関連付ける計算法を説明します。

この計算法は、逆行列を求める計算に利用することもあります。

\(n\) 次の正方行列 \(A=\left( \begin{array}{cccc} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n1 } & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{array} \right)\) の行列式は、\(\det(A)\)、\(|A|\) などの記号であらわされますが、以下の計算では列に関する入れ替えや、行に関する入れ替えを考えることになるため、主に一番相性の良い \(\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n1 } & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{vmatrix}\) を使うことにします。

準備

定理

  1. 第1列の第1成分以外がすべて \(0\) の行列式について

    \[ \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\ 0 & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \begin{vmatrix} a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{vmatrix} \]

    が成り立ちます。
  2. 第1行の第1成分以外がすべて \(0\) の行列式について

    \[ \begin{vmatrix} a_{ 11 } & 0 & \ldots & 0 \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n1 } & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \begin{vmatrix} a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{vmatrix} \]

    が成り立ちます。

証明

  1. 行列式は、各 \(n\) 次の置換 \(\sigma\) に対して、\(\text{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}\) として作られる項の和になっています。
    いまの場合、$a_{21} ,a_{31} ,, a_{n1} $ はすべて \(0\) ですから、 \(\sigma(1) \neq 1\) となる \(\sigma\) に対しては、この項の値は \(0\) になります。
    また、\(\sigma(1) = 1\) となる \(\sigma\) に対しては、この項は \(\text{sgn}(\sigma)a_{11}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}\) となります。
    \(\sigma(1) = 1\) となる \(\sigma\) は実質 \(n-1\) 次の置換

    \[\sigma=\left(\begin{array}{cccc}2 & 3 & \cdots & n \\ \sigma(2) & \sigma(3) & \cdots & \sigma(n)\end{array}\right)\]

    と考えることができ、そのように考えても \(\sigma\) の符号は変わらないので、

    \[ \begin{align} \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\ 0 & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{vmatrix} &= \sum_{\sigma \in S_{n-1}}\text{sgn}(\sigma)a_{11}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}\\ &\qquad\qquad\text{ただしここで}\, S_{n-1} \,\text{は文字}\,2,3\cdots,n\,\text{の} \\ &\qquad\qquad\,n-1\,\text{次の置換の集合}\\ &\\[6pt] &= a_{11}\sum_{\sigma \in S_{n-1}}\text{sgn}(\sigma)a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}\\[6pt] &=a_{11}\begin{vmatrix} a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{vmatrix} \end{align} \]

    と計算できます。
    これで証明ができました。

  2. 1.と同様に証明できます。

（証明終わり）

\(4\) 次の場合の行列式の展開

行列式の展開と呼ばれる計算法があります。ここではその考え方を \(4\) 次の行列式を使って説明してみます。

\(A=\left(\begin{array}{c} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } & a_{ 14 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } & a_{ 24 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } & a_{ 34 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } & a_{ 44 } \\ \end{array}\right)\) とします。

展開と呼ばれる計算では、ある１つの列またはある１つの行に注目した計算が行われます。

ここでは列を利用する計算の手順を紹介することにします。

列による展開の手順

  1. まず、

    \[\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } & a_{ 14 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } & a_{ 24 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } & a_{ 34 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } & a_{ 44 } \\ \end{vmatrix}\]

    のある列に注目します。
    どの列でも構わないのですが、ここでは、第 \(4\) 列に注目してみることにしましょう。
    第 \(4\) 列は

    \[ \left(\begin{array}{c} a_{14}\\a_{24}\\a_{34}\\a_{44}\\ \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} a_{14}\\0\\0\\0\\ \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} 0\\a_{24}\\0\\0\\ \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} 0\\0\\a_{34}\\0\\ \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} 0\\0\\0\\a_{44}\\ \end{array}\right) \]

    のように和であらわせますから、多重線形性を使うと、
    \[ \begin{align} |A|&=\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } & a_{ 14 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } & a_{ 24 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } & a_{ 34 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } & a_{ 44 } \\ \end{vmatrix}\\[15pt] &=\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } & a_{ 14 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } & 0 \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } & 0 \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } & 0 \\ \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } & 0 \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } & a_{ 24 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } & 0 \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } & 0 \\ \end{vmatrix}\\[15pt] &\qquad +\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } & 0 \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } & 0 \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } & a_{ 34 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } & 0 \\ \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } & 0 \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } & 0 \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } & 0 \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } & a_{ 44 } \\ \end{vmatrix} \end{align} \] のように、4つの項の和であらわせます。

  2. それぞれの項で「列」の入れ替えをおこない、第 \(4\) 列を第 \(1\) 列の位置に移動します。
    そのためには１つ前の「列」との入れ替えを繰り返しおこなえばよいわけですが、どの項でも１つ前の「列」との入れ替えを 3 回おこなうことになります。このとき、交代性から入れ替えをおこなうたびに行列式の前の符号が変わります。
    例えば、３つめの項では

    \[ \begin{align} \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } & 0 \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } & 0 \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } & a_{ 34 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } & 0 \\ \end{vmatrix} &=(-1)\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & 0 & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & 0 & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{34} & a_{ 33 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & 0 & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix}\\[15pt] &=(-1)^2\begin{vmatrix} a_{ 11 } & 0 & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & 0 & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{34} & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ a_{ 41 } & 0 & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix}\\[15pt] &=(-1)^3\begin{vmatrix} 0& a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ 0 &a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{34} & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ 0 & a_{41} & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} \end{align} \]

    となります。
    このようにして、どの項でも \((-1)^3\) が付くことになるので

    \[ \begin{align} |A|&=(-1)^3\begin{vmatrix} a_{ 14 } & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ 0 & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ 0 & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ 0 & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} +(-1)^3\begin{vmatrix} 0 & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{24} & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ 0 & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ 0 & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix}\\[15pt] &\qquad +(-1)^3\begin{vmatrix} 0 & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ 0 & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{34} & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ 0 & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} +(-1)^3\begin{vmatrix} 0 & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ 0 & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ 0 & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ a_{44} & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} \end{align} \]

    となります。

  3. それぞれの項の第 \(1\) 列では、 \(0\) とは異なる可能性のある数は多くても１つです。
    そこで、それぞれの項で「行」の入れ替えをおこない \(0\) とは異なる数を \((1,1)\) の位置に移動します。
    そのために１つ前の「行」との入れ替えを繰り返しおこないますが、交代性から入れ替えをおこなうたびに行列式の前の符号が変わります。
    例えば、３つめの項では \(a_{34}\) を一番上に移動するので２回入れ替えをおこないます。ですから、

    \[ \begin{align} (-1)^3\begin{vmatrix} 0 & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ 0 & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{34} & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ 0 & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} & =(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 0 & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{34} & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ 0 & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ 0 & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix}\\[15pt] &=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} a_{34} & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ 0 & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ 0 & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ 0 & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} \end{align} \]

    となります。
    すべての項をこのようにすると、

    \[ \begin{align} |A|&=(-1)^{3+0}\begin{vmatrix} a_{ 14 } & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 }\\ 0 & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 }\\ 0 & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 }\\ 0 & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 }\\ \end{vmatrix} +(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a_{24} & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ 0 & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 }\\ 0 & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 }\\ 0 & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 }\\ \end{vmatrix}\\[15pt] &\qquad +(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} a_{34} & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 }\\ 0 & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 }\\ 0 & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 }\\ 0 & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 }\\ \end{vmatrix} +(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} a_{44} & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 }\\ 0 & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 }\\ 0 & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 }\\ 0 & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 }\\ \end{vmatrix} \end{align} \]

    となります。

  4. 先に紹介した定理の 1.を用いると、例えば２番目の項は、

    \[ (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a_{24} & a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ 0 & a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ 0 & a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ 0 & a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} = a_{24} (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} \]

    とすることができます。
    これをすべての項に対しておこなうと、

    \[ \begin{align} |A|&=a_{ 14 }(-1)^{3+0}\begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} +a_{24} (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix}\\[15pt] &\qquad +a_{34} (-1)^{3+2}\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} +a_{44} (-1)^{3+3}\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ \end{vmatrix} \end{align} \tag{1} \]

    となります。

以上で、\(4\) 次の行列式を \(3\) 次の行列式の一次結合であらわすことができました。
このような計算は行列式の列による展開と呼ばれています。
いまの説明では、第 \(4\) 列を使って展開をおこないましたが、もちろん他の列を使って同様の計算をおこなうことができます。
また、行を使えば、行列式の行による展開も同じようにしておこなうことができます。

ここでこの計算の進め方を振り返ってみると以下のようになります。

列による展開

  1. ある列に注目し、列に関する多重線形性を用いて行列式をいくつかの項の和としてあらわします。このとき、各項でその列には \(0\) ではない数は多くても１つになるようにできます。

  2. 各項でその列を第 \(1\) 列に移動します。そのとき、交代性から各項の前に適当な符号が付くことになります。

  3. 各項の第 \(1\) 列には \(0\) ではない数は多くても１つですから、行の入れ替えをおこないその数を \((1.1)\) 成分に移動します。その際、交代性から各項の前に適当な符号が付くことになります。

  4. 各項の第 \(1\) 列では \((1,1)\) 以外はすべて \(0\) ですから、その数を行列式の前に出すとともに、行列式の第 \(1\) 列と第 \(1\) 行を削除して行列式の次数を１つ下げることができます。

ではここでもう一度 \(4\) 次の行列式 \(|A|\) を第 \(4\) 列で展開した \((1)\) 式を見てみましょう。

\[ \begin{align} |A|&=a_{ 14 }(-1)^{3+0}\begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} +a_{24} (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix}\\[15pt] &\qquad + a_{34} (-1)^{3+2}\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} +a_{44} (-1)^{3+3}\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ \end{vmatrix} \end{align} \qquad\qquad \tag{1} \]

この式の作り方を思い出すと、各項にあらわれている \(3\) 次の行列式は、もとの \(4\) 次の行列式からある行と第 \(4\) 列を取り除いたものになっていることがわかります。
たとえば、次に見るように第 \(2\) 項にあらわれている \(3\) 次の行列式はもとの行列式から第 \(2\) 行と第 \(4\) 列とを取り除いたものです。

\[ \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } & a_{ 14 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } & a_{ 24 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } & a_{ 34 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } & a_{ 44 } \\ \end{vmatrix} \stackrel{\text{第}\,2\,\text{行と第}\,4\, \text{列とを取り除く}}\Rightarrow \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \\ a_{ 41 } & a_{ 42 } & a_{ 43 } \\ \end{vmatrix} \]

さらに一般に、第 \(i\) 項はもとの行列式から第 \(4\) 列と第 \(i\) 行を取り除いたものになっているはずです。

一方、各項についている符号は、列や行の入れ替えを何回行ったのかを思い出せば、 第 \(i\) 項に付く符号は \((-1)^{(4-1)+(i-1)}=(-1)^{i+4}\) であることがわかるはずです。

というわけで、

\[ \text{第}\,i\,\text{項} = a_{i4}\times (-1)^{i+4}\times \,|A|\text{の第}\, i\,\text{行と第}\,4\,\text{列を取り除いてできる行列式} \]

となります。 ですから、\(4\) 次の行列式を第 \(4\) 列で展開すると、

\[ \begin{align} |A|&= a_{14}\times (-1)^{1+4}\times \,|A|\text{の第}\, 1\,\text{行と第}\,4\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ &\quad + a_{24}\times (-1)^{2+4}\times \,|A|\text{の第}\, 2\,\text{行と第}\,4\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ & \quad\quad + a_{34}\times (-1)^{3+4}\times \,|A|\text{の第}\, 3\,\text{行と第}\,4\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ & \quad\quad\quad + a_{44}\times (-1)^{4+4}\times \,|A|\text{の第}\,4\,\text{行と第}\,4\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ \end{align} \]

となっていることがわかります。

以上説明してきたことが、行列式の展開と呼ばれる計算のメカニズムの本質です。一般の次数 \(n\) の行列式の場合も計算のメカニズムはまったく同じです。

余因子

ここまで説明した計算で、行列のある行と列を取り除いた行列の行列式に符号をつけたものが登場しました。そこで、これにきちんと名前をつけておきます。

定義

\(n\) 次の正方行列

\[A=\left( \begin{array}{cccc} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n1 } & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{array} \right)\]

から第 \(i\) 行と第 \(j\) 行を取り除いてできる行列の行列式に \((-1)^{i+j}\) を掛けたものを \(A\) の \((i,j)\) 余因子といい、\(\tilde{a}_{ij}\) という記号であらわします。 このことを示すと、次のようになります。

\[\left| \begin{array}{ccccccc} a_{1,1} & \ldots & a_{1,j-1} & \color{red}{a_{1,j}} & a_{1,j+1} & \ldots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \color{red}{\vdots} & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i-1,1} & \ldots & a_{i-1, j-1} & \color{red}{a_{i-1,j}} & a_{i-1, j+1} & \ldots & a_{i-1, n} \\ \color{red}{a_{i,1}} & \color{red}{\ldots} & \color{red}{a_{i, j-1}} & \color{red}{a_{i,j}} & \color{red}{a_{i, j+1}} & \color{red}{\ldots} & \color{red}{a_{i, n}}\\ a_{i+1,1} & \ldots & a_{i+1, j-1} & \color{red}{a_{i+1,j}} & a_{i+1, j+1} & \ldots & a_{i+1, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \color{red}{\vdots} & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \ldots & a_{n, j-1} & \color{red}{a_{n,j}} & a_{n, j+1} & \ldots & a_{n, n} \end{array} \right| \Rightarrow \tilde{a}_{ij} = (-1)^{ i+j } \times \begin{vmatrix} a_{1,1} & \ldots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \ldots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i-1,1} & \ldots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \ldots & a_{i-1, n} \\ a_{i+1,1} & \ldots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \ldots & a_{i+1, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \ldots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \ldots & a_{n, n} \end{vmatrix} \]


例

\(A=\left(\begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 5 & 1 \\ -2 & 2 & 3 & -7 \\ 5 & 3 & -4 & 0 \\ 1 & -4 & 3 & 9 \\ \end{array}\right)\) の \((3,2)\) 余因子 \(\tilde{a}_{32}\) は

\[ \begin{align} \tilde{a}_{32} &= (-1)^{3+2} \left|\begin{array}{rrrr} 4 & \color{red}{3} & 5 & 1 \\ -2 & \color{red}{2} & 3 & -7 \\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{-4} & \color{red}{0} \\ 1 & \color{red}{-4} & 3 & 9 \\ \end{array}\right|\\[6pt] &=(-1)^{3+2} \left|\begin{array}{rrr} 4 & 5 & 1 \\ -2 & 3 & -7 \\ 1 & 3 & 9 \\ \end{array}\right|\\[6pt] &=(-1)\left\{4\times3\times 9 + 5 \times (-7) \times 1 + 1 \times (-2) \times 3 \right.\\ &\qquad\qquad \left. -4 \times (-7) \times 3 - 5 \times (-2) \times 9 - 1 \times 3 \times 1\right\}\\[6pt] &= -238 \end{align} \]

余因子を使って行列式の展開をあらわすと

行列式の展開

\(4\) 次の行列式を展開したときと同じようにして計算を進めると、一般の \(n\) 次の行列式の展開が得られます。 ここではその結果を定理としてまとめ、さらに余因子を使ってあらわしておきます。

定理

行列式の「列による」展開

\(n\) 次の行列式 \(|A|\) の第 \(j\) 列を利用して、

\[ \begin{align} |A|&= a_{1j}\times (-1)^{1+j}\times \,|A|\text{の第}\, 1\,\text{行と第}\,j\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ &\quad + a_{2j}\times (-1)^{2+j}\times \,|A|\text{の第}\, 2\,\text{行と第}\,j\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ &\quad\quad \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots\\ & \quad\quad\quad + a_{n-1\,j}\times (-1)^{(n-1)+j}\times \,|A|\text{の第}\, n-1\,\text{行と第}\,j\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ & \quad\quad\quad\quad + a_{nj}\times (-1)^{n+j}\times \,|A|\text{の第}\,n\,\text{行と第}\,j\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ \end{align} \]

と変形することができます。
先に導入した余因子の記号 \(\tilde a_{ij}\)を使いたければこの式は

\[ \begin{align} |A|&= a_{1j}\times \tilde a_{1j} + a_{2j}\times \tilde a_{2j} + \cdots + a_{n-1\,j}\times \tilde a_{n-1\,j} + a_{nj}\times \tilde a_{nj} \end{align}\]

と書くことができます。

行による展開も列による展開と同じように計算を進めることにより得ることができます。その結果は次のようになります。

定理

行列式の「行による」展開

\(n\) 次の行列式 \(|A|\) の第 \(i\) 行を利用して、

\[ \begin{align} |A|&= a_{i1}\times (-1)^{i+1}\times \,|A|\text{の第}\, i\,\text{行と第}\,1\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ &\quad + a_{i2}\times (-1)^{i+2}\times \,|A|\text{の第}\, i\,\text{行と第}\,2\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ &\quad\quad \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots\\ & \quad\quad\quad + a_{i\,n-1}\times (-1)^{i+(n-1)}\times \,|A|\text{の第}\, i\,\text{行と第}\,n-1\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ & \quad\quad\quad\quad + a_{in}\times (-1)^{i+n}\times \,|A|\text{の第}\,i\,\text{行と第}\,n\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ \end{align}\]

と変形することができます。

先に導入した余因子の記号 \(\tilde a_{ij}\)を使いたければこの式は

\[ \begin{align} |A|&= a_{i1}\times \tilde a_{i1} + a_{i2}\times \tilde a_{i2} + \cdots + a_{i\,n-1}\times \tilde a_{i\,n-1} + a_{in}\times \tilde a_{in} \end{align}\]

と書くことができます。

余因子の性質

ではここで、２つの列が等しい行列の行列式や２つの行が等しい行列の行列式に対して、展開と同じような計算をしてみることにしましょう。

\(A\) の第 \(k\) 列を第 \(j\) 列に置き換えてできる行列 \(A'\) を考えることにします。
つまり、

\[ |A|=\begin{vmatrix} a_{ 11 } & \ldots & a_{ 1j } & \ldots & a_{1k} & \ldots & a_{ 1n } \\ a_{ 21 } & \ldots & a_{ 2j } & \ldots & a_{2k} & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{ i1 } & \ldots & a_{ ij } & \ldots & a_{ik} & \ldots & a_{ in } \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{ n1 } & \ldots & a_{ nj } & \ldots & a_{nk} & \ldots & a_{ nn } \\ \end{vmatrix} ,\quad |A'|=\begin{vmatrix} a_{ 11 } & \ldots & a_{ 1j } & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{ 1n } \\ a_{ 21 } & \ldots & a_{ 2j } & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{ i1 } & \ldots & a_{ ij } & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{ in } \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{ n1 } & \ldots & a_{ nj } & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{ nn } \\ \end{vmatrix} \]

とします。

\(A\) と \(A'\) は第 \(k\) 列以外はすべて同じなので、\(i=1,2,\ldots,n\) に対して、

\[ \begin{align} &|A|\text{の第}\, i\,\text{行と第}\,k\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ &=|A'|\text{の第}\, i\,\text{行と第}\,k\,\text{列を取り除いてできる行列式} \end{align} \]

が成り立ちます。また、 行列 \(A^\prime\) の第 \(k\) 列は行列 \(A\) の第 \(j\) 列と等しくなっています。

これらのことに注意して \(|A'|\) の第 \(k\) 列による展開をしてみると、

\[ \begin{align} |A'|&= a_{1j}\times (-1)^{1+k}\times \,|A|\text{の第}\, 1\,\text{行と第}\,k\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ &\quad + a_{2j}\times (-1)^{2+k}\times \,|A|\text{の第}\, 2\,\text{行と第}\,k\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ &\quad\quad \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots\\ & \quad\quad\quad + a_{n-1\,j}\times (-1)^{(n-1)+j}\times \,|A|\text{の第}\, n-1\,\text{行と第}\,k\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ & \quad\quad\quad\quad + a_{nj}\times (-1)^{n+k}\times \,|A|\text{の第}\,n\,\text{行と第}\,k\,\text{列を取り除いてできる行列式}\\ \end{align} \]

となります。
これを \(A\) の余因子を使って書くと、

\[ \begin{align} |A'|&= a_{1j}\tilde a_{1k} + a_{2j}\tilde a_{2k} + \cdots + a_{n-1\,j}\tilde a_{n-1\, k} + a_{nj}\tilde a_{nk} \end{align} \]

となります。
ところで、\(A'\) は ２つの列が等しい行列なので交代性から \(|A'|=0\) となります。ですから、次の定理が成り立つことになります。

定理

\(j \neq k\) ならば \(n\) 次行列 \(A\) の余因子 \(\tilde a_{ik}\,(i = 1,2,\ldots,n)\) に対して、

\[ \begin{align} 0&= a_{1j}\tilde a_{1k} + a_{2j}\tilde a_{2k} + \cdots + a_{n-1\,j}\tilde a_{n-1\, k} + a_{nj}\tilde a_{nk} \end{align} \]

が成り立ちます。

行について同様の議論をおこなうことにより次の定理も証明できます。

定理

\(i \neq k\) ならば \(n\) 次行列 \(A\) の余因子 \(\tilde a_{ki}\,(i = 1.2,\ldots n)\) に対して、

\[ \begin{align} 0&= a_{i1}\tilde a_{k1} + a_{i2}\tilde a_{k2} + \cdots + a_{i\,n-1}\tilde a_{k\,n-1} + a_{in}\tilde a_{kn} \end{align}\]

が成り立ちます。

補足：これらの性質は逆行列を求める計算や連立一次方程式の解の公式に応用することができます。

まとめ

行列のある列またはある行に注目することにより、行列式の計算ではその行または列に関する「展開」と呼ばれている計算をすることができます。

列に関する「展開」と呼ばれる計算では、注目した列といずれかの行を取り除いた行列の行列式が現れます。

行に関する「展開」と呼ばれる計算では、注目した行といずれかの列を取り除いた行列の行列式が現れます。

行列の第 \(i\) 行と第 \(j\) 列を取り除いた行列の行列式に \((-1)^{i+j}\) を掛けたものは \((i,j)\) 余因子と呼ばれます。

行列 \(A\) の \((i,j)\) 成分を \(a_{ij}\) と書くことにし、\((i,j)\) 余因子を \(\tilde a_{ij}\) と書くことにすると、 第 \(j\) 列に関する展開は

\[ \begin{align} |A|&= a_{1j}\times \tilde a_{1j} + a_{2j}\times \tilde a_{2j} + \cdots + a_{n-1\,j}\times \tilde a_{n-1\,j} + a_{nj}\times \tilde a_{nj} \end{align}\]

のように行われ、第 \(i\) 行に関する展開は

\[ \begin{align} |A|&= a_{i1}\times \tilde a_{i1} + a_{i2}\times \tilde a_{i2} + \cdots + a_{i\,n-1}\times \tilde a_{i\,n-1} + a_{in}\times \tilde a_{in} \end{align}\]

のように行われます。このような計算が成り立つのは行列式の多重線形性と交代性によるものです。

またさらに、\(j \neq k\) ならば

\[ \begin{align} 0&= a_{1j}\tilde a_{1k} + a_{2j}\tilde a_{2k} + \cdots + a_{n-1\,j}\tilde a_{n-1\, k} + a_{nj}\tilde a_{nk} \end{align} \]

が成り立ち、 \(i \neq k\) ならば

\[ \begin{align} 0&= a_{i1}\tilde a_{k1} + a_{i2}\tilde a_{k2} + \cdots + a_{i\,n-1}\tilde a_{k\,n-1} + a_{in}\tilde a_{kn} \end{align}\]

が成り立ちます。

行列式の定義と性質 行列式の計算例