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線形写像の行列による表現（２）

2023-03-25

線形写像の合成と表現行列の積

命題

\(U,V,W\) を \(\mathbb{K}\) 上の線形空間とし、\(f:U \to V\) と \(g:V \to W\) を線形写像とします。

また、\(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt\) を \(U\) の基底、\(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt\) を \(V\) の基底、\(\lt \boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\ldots,\boldsymbol{w}_l \gt\) を \(W\) の基底とし、これらに関する \(f\) の表現行列を \(A\) 、\(g\) の表現行列を \(B\) とします。 このとき、合成写像 \(g\circ f\) の \(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt,\lt \boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\ldots,\boldsymbol{w}_l \gt\) に関する表現行列は \(BA\) です。

証明

\(A,B\) はそれぞれ

\[ \begin{align} \left(f(\boldsymbol{u}_1),f(\boldsymbol{u}_2),\ldots,f(\boldsymbol{u}_n) \right) &= \left(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m\right)A \tag{1}\\[6pt] \left(g(\boldsymbol{v}_1),g(\boldsymbol{v}_2),\ldots,g(\boldsymbol{v}_m) \right) &= \left(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\ldots,\boldsymbol{w}_l\right)B \tag{2} \end{align} \]

を満たすものとして定義される行列です。

以下の説明のため、行列 \(A\) を成分で

\[ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m1 } & a_{ m2 } & \ldots & a_{ mn } \end{array}\right) \]

とあらわしておきます。 そして \((1)\) 式は

\[ \begin{align} f(\boldsymbol{u}_1)&=a_{11}\boldsymbol{v}_1 + a_{21}\boldsymbol{v}_2 + \cdots + a_{m1}\boldsymbol{v}_m\\[6pt] f(\boldsymbol{u}_2)&=a_{12}\boldsymbol{v}_1 + a_{22}\boldsymbol{v}_2 + \cdots + a_{m2}\boldsymbol{v}_m\\[6pt] &\qquad\qquad\cdots\cdots\cdots\\[6pt] f(\boldsymbol{u}_n)&=a_{1n}\boldsymbol{v}_1 + a_{2n}\boldsymbol{v}_2 + \cdots + a_{mn}\boldsymbol{v}_m\\ \end{align} \]

をまとめて書いただけであることを思い出しておきましょう。

\(g\) は線形なのでこれらの式より

\[ \begin{align} g\left(f(\boldsymbol{u}_1)\right) &= a_{11}g(\boldsymbol{v}_1) + a_{21}g(\boldsymbol{v}_2) + \cdots + a_{m1}g(\boldsymbol{v}_m)\\[6pt] g\left(f(\boldsymbol{u}_2)\right) &= a_{12}g(\boldsymbol{v}_1) + a_{22}g(\boldsymbol{v}_2) + \cdots + a_{m2}g(\boldsymbol{v}_m)\\[6pt] &\qquad\qquad\cdots\cdots\cdots\\[6pt] g\left(f(\boldsymbol{u}_n)\right) &= a_{1n}g(\boldsymbol{v}_1) + a_{2n}g(\boldsymbol{v}_2) + \cdots + a_{mn}g(\boldsymbol{v}_n)\\ \end{align} \]

が成り立ちます。そしてこれは、

\[ \begin{align} \left(g(f(\boldsymbol{u}_1)),g(f(\boldsymbol{u}_2)),\ldots,g(f(\boldsymbol{u}_n)) \right) &= \left(g(\boldsymbol{v}_1),g(\boldsymbol{v}_2),\ldots,g(\boldsymbol{v}_m)\right)A \\ \end{align}\tag{3} \]

とまとめて書くことができます。そうすると、\((3),(2)\) 式より

\[ \begin{align} \left((g\circ f)(\boldsymbol{u}_1),(g \circ f)(\boldsymbol{u}_2),\ldots,(g \circ f)(\boldsymbol{u}_n) \right) &=\left(g(f(\boldsymbol{u}_1)),g(f(\boldsymbol{u}_2)),\ldots,g(f(\boldsymbol{u}_n)) \right)\\[6pt] &=\left(g(\boldsymbol{v}_1),g(\boldsymbol{v}_2),\ldots,g(\boldsymbol{v}_m)\right)A \\[6pt] &= \left(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\ldots,\boldsymbol{w}_l\right)BA \end{align} \]

となることがわかります。これは \(g\circ f\) の \(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt,\lt \boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\ldots,\boldsymbol{w}_l \gt\) に関する表現行列が \(BA\) であることを意味しています。
（証明終わり）

基底の変換と線形写像の表現行列

ある線形空間からある線形空間への線形写像の表現行列はそれぞれの線形空間の基底を選ぶことにより決まります。ですから、それぞれの線形空間の基底を取り替えると線形写像の表現行列は変わります。

それではこれから、記号を準備して表現行列がどのように変るのか調べてみることにしましょう。

\(U,V\) を \(\mathbb{K}\) 上の線形空間とします。また、\(f:U \to V\) を線形写像とします。

\(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt,\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt\) を \(U\) の２つの基底とし、
\(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt,\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) を \(V\) の２つの基底とします。

\(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt\) から \(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt\) への基底の変換行列を \(P\) とし、
\(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt\) から \(\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) への基底の変換行列を \(Q\) とします。

そして、\(A\) を \(U\) の基底 \(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt\) と \(V\) の基底 \(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt\) に関する \(f\) の表現行列とします。

\(U\) の基底を \(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt\) へ取り替え、\(V\) の基底を \(\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) に取り替えると \(f\) の表現行列は変わります。

その変わり方は、 \(A,P,Q\) と深く結びついているはずです。このことをこれから調べていきます。

基底の変換行列 \(P,Q\) はそれぞれ

\[ \begin{align} (\boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n )& =(\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n)P \tag{4}\\[6pt] (\boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m)&=(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m )Q\tag{5} \end{align} \]

を満たすものとして定義される行列で、どちらも逆行列を持ちます。

また \(f\) をあらわす行列 \(A\) は

\[ \left(f(\boldsymbol{u}_1),f(\boldsymbol{u}_2),\ldots,f(\boldsymbol{u}_n)\right)=(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m )A \tag{6} \]

となるものです。

\(Q\) は逆行列をもつので \((5)\) は

\[ (\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m)=(\boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m )Q^{-1}\tag{7} \]

と書き換えることができます。

以上のことを頭に入れ、これから \(f\) の基底 \(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt,\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) に関する表現行列を求めてみます。

\(f\) は線形なので \((4)\) 式より

\[ \begin{align} \left(f(\boldsymbol{u}'_1),f(\boldsymbol{u}'_2),\ldots,f(\boldsymbol{u}'_n) \right) &=\left(f(\boldsymbol{u}_1),f(\boldsymbol{u}_2),\ldots,f(\boldsymbol{u}_n)\right)P \\ \end{align} \]

となり、さらに \((6)\) 式より

\[ \begin{align} \qquad\qquad\qquad\qquad&=\left(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \right)AP\\ \end{align} \]

となり、さらに \((7)\) 式より

\[ \begin{align} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad&=\left(\boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \right)Q^{-1}AP \end{align} \]

となります。この式より \(f\) の基底 \(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt,\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) に関する表現行列は \(Q^{-1}AP\) であることがわかります。

以上のことを次の定理としてまとめておきます。

定理

\(U,V\) を \(\mathbb{K}\) 上の線形空間とし、\(f:U \to V\) を線形写像とします。

\(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt,\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt\) を \(U\) の２つの基底とし、
\(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt,\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) を \(V\) の２つの基底とします。

\(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt\) から \(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt\) への基底の変換行列を \(P\) とし、
\(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt\) から \(\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) への基底の変換行列を \(Q\) とします。

\(A\) を \(U\) の基底 \(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt\) と \(V\) の基底 \(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt\) に関する \(f\) の表現行列とします。

このとき、\(U\) の基底を \(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt\) へ取り替え、\(V\) の基底を \(\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) に取り替えると \(f\) の表現行列は \(Q^{-1}AP\) に変わります。

例

\(3\) 次元数ベクトル空間 \(\mathbb{K}^3\) から \(2\) 次元数ベクトル空間 \(\mathbb{K}^2\) への線形写像 \(f:\mathbb{K}^3 \to \mathbb{K}^2\) が行列 \(A= \left(\begin{array}{rrr} 5 & 1 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \\ \end{array}\right)\) により

\[ f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}\tag{8} \]

として定義されているとします。数ベクトルの成分を明示するために \(\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) , f(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}{c}y_1\\ y_2\\ \end{array}\right)\) とおくことにするとこの線形写像 \(f\) は

\[ \left(\begin{array}{c}y_1\\ y_2\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 5 & 1 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\tag{9} \]

と書くことができます。

ところで、数ベクトル空間 \(\mathbb{K}^n\) には \(n\) 項単位ベクトルから作られる自然な基底があります。 つまり、\(\mathbb{K}^3\) には \(\boldsymbol{u}_1= \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{u}_2= \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{u}_3= \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\) から作られる自然な基底 \(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\gt\) があり、\(\mathbb{K}^2\) には \(\boldsymbol{v}_1= \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \end{array}\right), \boldsymbol{v}_2= \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ \end{array}\right)\) から作られる自然な基底 \(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\gt\) があります。 （\(n\) 項単位ベクトルは \(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\ldots\) のように書く習慣がありますが、ここでは \(\mathbb{K}^3\) と \(\mathbb{K}^2\) の自然な基底を区別して表示するために \(\boldsymbol{u}_*,\boldsymbol{v}_*\) としました。 ） \((9)\) 式に現れるベクトルや行列はこのような自然な基底に関する座標や表現行列となっていることに注意しましょう。

それではここで、\(\mathbb{K}^3,\mathbb{K}^2\) に（自然な基底ではない）新しい基底を導入してみることにします。 たとえば、 \(\mathbb{K}^3\) のベクトル \(\boldsymbol{u}'_1= \left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{u}'_2= \left(\begin{array}{r}1\\ -5\\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{u}'_3= \left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)\) から作られる基底 \(\lt\boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\boldsymbol{u}'_3\gt\) と \(\mathbb{K}^2\) のベクトル \(\boldsymbol{v}'_1= \left(\begin{array}{r}1\\ 2\\\end{array}\right), \boldsymbol{v}'_2= \left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ \end{array}\right)\) から作られる基底 \(\lt\boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2\gt\) を導入してみます。（これらがちゃんと基底の資格をもつことは各自で確認してみてください。）

これらの新しい基底に関して \(f\) の表現行列がどのように変るか計算するために、まず、基底の変換行列を求めることにしましょう。

\[ \begin{align} \left(\boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\boldsymbol{u}'_3\right) &=\left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\ 1&-5&1\\ 0&0&1\end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}0&1&0\\ 1&-5&1\\ 0&0&1\end{array}\right)\\ &=\left(\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\right) \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\ 1&-5&1\\ 0&0&1\end{array}\right)\\ \end{align}\]

となっているわけですから、自然な基底 \(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\gt\) から\(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\boldsymbol{u}'_3\gt\) への変換行列を \(P\) とすると

\[ P=\left(\begin{array}{r}0&1&0\\ 1&-5&1\\ 0&0&1\end{array}\right)\\ \]

となります。 同様に、

\[ \begin{align} \left(\boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2\right) &=\left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 2&1\end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&1\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 2&1\end{array}\right)\\ &=\left(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\right) \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 2&1\\ \end{array}\right)\\ \end{align}\]

となっているわけですから、自然な基底 \(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\gt\) から\(\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2\gt\) への変換行列を \(Q\) とすると

\[ Q=\left(\begin{array}{rr}\ 1&0\\ 2&1\end{array}\right)\\ \]

となります。

以上で、基底 \(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\boldsymbol{u}'_3\gt,\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2\gt\) に関する \(f\) の表現行列 \(Q^{-1}AP\) を計算する準備ができました。

\(Q^{-1}=\left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 2&1\\ \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -2&1\\ \end{array}\right)\) となりますから

\[ \begin{align} Q^{-1}AP &=\left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -2&1\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr} 5 & 1 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr} 0&1&0\\ 1&-5&1\\ 0&0&1\end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -13 & 4 \\ \end{array}\right) \end{align} \]

と計算できます。これが基底 \(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\boldsymbol{u}'_3\gt,\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2\gt\) に関する \(f\) の表現行列です。

線形写像の標準形

線形空間の間の線形写像の表現行列は、それぞれの空間の基底をうまく選ぶと極めて簡単な形になるということをこれから説明します。

定理

\(U\) を \(\mathbb{K}\) 上の \(n\) 次元線形空間、\(V\) を \(\mathbb{K}\) 上の \(m\) 次元線形空間とします。また、 \(f:U \to V\) を線形写像とします。

このとき、\(U,V\) それぞれの基底をうまく選ぶと \(f\) の表現行列は以下のような、標準形と呼ばれているもの

\[ \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 &\cdots & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots & & &\vdots \\ 0 & 0 &\cdots & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \end{array}\right), \, \left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 &\cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1& 0 & \cdots & 0 \end{array}\right),\,\\ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{array}\right),\, \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right) \]

のいずれかの形になります。

証明

\(f^{-1}(\boldsymbol{0})\) は \(U\) の部分空間です。そこで、まず、\(f^{-1}(\boldsymbol{0})\) の基底 \(\lt \boldsymbol{u}_1,\cdots,\boldsymbol{u}_s \gt\) を適当に選び、この基底を延長して \(U\) の基底 \(\lt \boldsymbol{u}_{s+1},\cdots, \boldsymbol{u}_n,\boldsymbol{u}_1,\cdots,\boldsymbol{u}_s \gt\) を作ります。（この基底でベクトルを並べている順番に注意しておいてください。）

このとき、\(V\) のベクトル \(f(\boldsymbol{u}_{s+1}),\ldots,f(\boldsymbol{u}_{n})\) は線形独立です。実際、

\[ c_{s+1}f(\boldsymbol{u}_{s+1})+\cdots+ c_nf(\boldsymbol{u}_{n})=\boldsymbol{0} \]

とすると \(f\) は線形なので

\[ f\left(c_{s+1}\boldsymbol{u}_{s+1}+\cdots+ c_n\boldsymbol{u}_{n}\right)=\boldsymbol{0} \]

となり、 \(c_{s+1}\boldsymbol{u}_{s+1}+\cdots+ c_n\boldsymbol{u}_{n}\) は \(f^{-1}(\boldsymbol{0})\) に属しているベクトルであることがわかります。

ですからある \(c_1,\ldots,c_s\) を用いて

\[c_{s+1}\boldsymbol{u}_{s+1}+\cdots+ c_n\boldsymbol{u}_{n} =c_1\boldsymbol{u}_1+\cdots+c_s\boldsymbol{u}_s\]

とあらわされることになります。これより、

\[ c_{s+1}\boldsymbol{u}_{s+1}+\cdots+ c_n\boldsymbol{u}_{n}-c_1\boldsymbol{u}_1-\cdots-c_s\boldsymbol{u}_s =\boldsymbol{0} \]

が得られますが、\(\lt \boldsymbol{u}_{s+1},\cdots, \boldsymbol{u}_n,\boldsymbol{u}_1,\cdots,\boldsymbol{u}_s \gt\) は \(U\) の基底なので、これが成り立つのは

\[ c_{s+1} = \cdots = c_n=c_1=\cdots = c_{s} =0 \]

の時に限ります。とくに \(c_{s+1}=\cdots = c_{n} =0\) ですから、\(f(\boldsymbol{u}_{s+1}),\ldots,f(\boldsymbol{u}_{n})\) は線形独立であることになります。

この \(f(\boldsymbol{u}_{s+1}),\ldots,f(\boldsymbol{u}_{n})\) をつかって \(V\) の部分空間 \(f(U)\) の基底 \(\lt f(\boldsymbol{u}_{s+1}),\ldots,f(\boldsymbol{u}_{n}) \gt\) が得られます。さらにこれを延長することにより、\(V\) の基底 \(\lt f(\boldsymbol{u}_{s+1}),\ldots,f(\boldsymbol{u}_{n}) , \boldsymbol{v}_{n-s+1},\ldots,\boldsymbol{v}_{m}\gt\) をつくることができます。

以上のようにして作られた \(U\) の基底 \(\lt \boldsymbol{u}_1,\cdots,\boldsymbol{u}_s ,\boldsymbol{u}_{s+1},\cdots, \boldsymbol{u}_n\gt\) と \(V\) の基底 \(\lt f(\boldsymbol{u}_{s+1}),\ldots,f(\boldsymbol{u}_{n}) , \boldsymbol{v}_{n-s+1},\ldots,\boldsymbol{v}_{m}\gt\) に関する \(f\) の表現行列を考えてみることにしましょう。

すると、\(f(\boldsymbol{u}_1)=\cdots =f(\boldsymbol{u}_s) =\boldsymbol{0}\) であることを思い出せば

\[ \left( f(\boldsymbol{u}_{s+1}),\cdots, f(\boldsymbol{u}_n) ,f(\boldsymbol{u}_1),\cdots,f(\boldsymbol{u}_s ) \right) =\left( f(\boldsymbol{u}_{s+1}),\ldots,f(\boldsymbol{u}_{n}) , \boldsymbol{v}_{n-s+1},\ldots,\boldsymbol{v}_{m}\right) \left(\begin{array}{rrrr} 1&\cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & &\vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & \cdots &0 & 0 & \cdots & 0\\ \end{array}\right) \]

となることがわかり、この定理の主張が正しいことが証明されました。

（証明終わり）

補足

上の定理の証明は以前学んだ「核の次元と像の次元の関係」の証明をさらに詳しくしたものと考えることができます。

まとめ

\(U,V,W\) を \(\mathbb{K}\) 上の線形空間とし、\(f:U \to V\) と \(g:V \to W\) を線形写像とし、\(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt\) を \(U\) の基底、\(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt\) を \(V\) の基底、\(\lt \boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\ldots,\boldsymbol{w}_l \gt\) を \(V\) の基底とし、これらに関する \(f\) の表現行列を \(A\) 、\(g\) の表現行列を \(B\) とします。このとき、合成写像 \(g\circ f\) の \(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt,\lt \boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\ldots,\boldsymbol{w}_l \gt\) に関する表現行列は \(BA\) です。つまり、次の図の上の段の写像と下の段の写像を同一視できます。

\[ \require{amscd} \begin{CD} U \ni \boldsymbol{x} @>{f}>> f(\boldsymbol{x}) @>{g}>> (g\circ f)(\boldsymbol{x}) \in W\\ @VV{\lt \boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt}V {\begin{array}{c} \\ \\ \large\circlearrowleft\end{array}} @VV{\lt \boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt}V {\begin{array}{c} \\ \\\large\circlearrowleft\end{array}} @VV{\lt \boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_l \gt}V\\ \mathbb{K}^n\ni\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}\right)\qquad @>>{A}> A\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}\right)@>>{B}> BA \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}\right) \in\mathbb{K}^l \end{CD} \]


\(U,V\) を \(\mathbb{K}\) 上の線形空間とし、\(f:U \to V\) を線形写像とします。 \(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt,\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt\) を \(U\) の２つの基底とし、
\(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt,\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) を \(V\) の２つの基底とします。 \(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt\) から \(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt\) への基底の変換行列を \(P\) とし、
\(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt\) から \(\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) への基底の変換行列を \(Q\) とします。 \(A\) を \(U\) の基底 \(\lt \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots,\boldsymbol{u}_n \gt\) と \(V\) の基底 \(\lt \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_m \gt\) に関する \(f\) の表現行列とします。 このとき、\(U\) の基底を \(\lt \boldsymbol{u}'_1,\boldsymbol{u}'_2,\ldots,\boldsymbol{u}'_n \gt\) へ取り替え、\(V\) の基底を \(\lt \boldsymbol{v}'_1,\boldsymbol{v}'_2,\ldots,\boldsymbol{v}'_m \gt\) に取り替えると \(f\) の表現行列は \(Q^{-1}AP\) に変わります。

線形写像の行列による表現（１） 線形写像と行列の階数