平面のベクトルの空間の一次写像と行列

2022-05-04

ここでは「一次写像」と呼ばれるものについて考えます。 でも、一体何それ？って思う人が多いかもしれません。 そこで、具体的な例を使って説明します。

平面のベクトルの空間 \(V^2\) の回転と一次写像

平面のある場所に原点 \(\mathrm{O}\)を決めておきます。そして、幾何ベクトルを矢印で扱うことにします。

矢印を平行移動してもベクトルとしては同じものですから、ここではベクトルをあらわす矢印の始点が \(\mathrm{O}\) になるようにしたものとして考えていくことにします。

ではここで、それぞれのベクトルに対して、原点 \(\mathrm{O}\) のまわりに 反時計回りに \(\alpha\) ラジアン回転させた新しいベクトルを作るという操作を考えてみることにしましょう。 この操作は、それぞれのベクトルに新しいベクトルを対応させる「決まり」といえます。

このような決まりをあらわすときに、数学ではよく、\(f\) とか \(g\) とか \(h\) などのアルファベットが使われます。 ここでは、この決まりを \(f\) であらわすことにします。 そして、幾何ベクトル \(\boldsymbol{u}\) に対応する新しい幾何ベクトルを \(f(\boldsymbol{u})\) という記号であらわします。

補足：このような記号の使い方は、関数や写像をあらわす記号の使い方と基本的に同じです。

紙を用意して図を描き、矢印を回転させて考えてみると悟ることができますが、この「決まり \(f\)」は次のような性質を持っています。

1. 2つのベクトル \(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\) に対して、 \[f(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=f(\boldsymbol{u})+f(\boldsymbol{v})\] が成り立ちます。
   これは、ベクトルを足してから \(f\) という決まりで新しいベクトルを作ったものと、\(f\) という決まりでそれぞれ新しいベクトルを作ってからそれらを足したものが同じになると主張しています。 このようなとき、「\(f\) は和を保つ」というような言い回しをすることがあります。

2. ベクトル \(\boldsymbol{u}\) と数 \(r\) に対して、 \[f(r\boldsymbol{u})=rf(\boldsymbol{u})\] が成り立ちます。
   これは、ベクトルをスカラー倍してから \(f\) という決まりで新しいベクトルを作ったものと、\(f\) という決まりで新しいベクトルを作ってからスカラー倍したものが同じになると主張しています。 このようなとき、「\(f\) はスカラー倍を保つ」というような言い回しをすることがあります。

平面ベクトルの回転に限らず、一般に 1. と 2. の性質を持つ「決まり」は一次写像と呼ばれます。

座標系を設けて回転を行列で表現する

ではここで、原点 \(\mathrm{O}\) を通り、直交する \(x\) 軸と \(y\) 軸を描き、座標系を設定することにしましょう。 ただし、習慣に従って、\(x\) 軸のプラスへ進む方向を（時計回りではなく）反時計回りに\(\frac{\pi}{2}\) ラジアン（つまり \(90\) 度）回転すると、\(y\) 軸のプラスへ進む方向へ一致するようなものを採用します。

座標系を設けると、幾何ベクトルをは数ベクトルとして扱うことができるのでした。そこで、回転前のベクトル \(\boldsymbol{u}\) と 回転後のベクトル \(f(\boldsymbol{u})\) を数ベクトルとしてあらわし、その間の関係を考えてみることにしましょう。

幾何ベクトルを始点が \(\mathrm{O}\) となる矢印で考えたとき、終点の座標がそのベクトルをあらわす数ベクトルです。そこで、 回転前のベクトル \(\boldsymbol{u}\) と回転後のベクトル \(f(\boldsymbol{u})\) の終点の座標をそれぞれ

\[ \boldsymbol{u} = \left( \begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right), \quad f(\boldsymbol{u}) = \left( \begin{array}{r} x'\\ y' \end{array} \right) \]

としておきます。

いま\(f\) は \(\mathrm{O}\) のまわりの 角 \(\alpha\) の回転を行う操作です。 高校の数学で学んだ三角関数の加法定理を使い、図を描いて回転後のベクトルをあらわす矢印の終点を考えてみると、

\[ \left( \begin{array}{r} x'\\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \cos\alpha\cdot x\ -\sin \alpha \cdot y\\ \sin\alpha \cdot x + \cos\alpha\cdot y \end{array} \right) \]

であることがわかります。

行列の計算を知っていれば、これは

\[ \left(\begin{array}{r} x'\\ y' \end{array} \right) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \left(\begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right) \]

と書いてあるのと同じだということがわかるでしょう。

基底を用いて回転を行列で表現する

回転に限らず一般に通用する話

\(V^2\) の基底 \(<\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}>\) を用意します。（零ベクトルではない2つのベクトル \(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\) で平行ではないものを用意すればよいわけです。）

\(V^2\) のどんなベクトル \(\boldsymbol{u}\) も適切な2つの数 \(x,y\) を用いて、

\[ \boldsymbol{u} = x\,\boldsymbol{a} + y\,\boldsymbol {b} \]

のようにただ１通りに書くことができるのでした。そして、基底 \(<\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}>\) を使ったときの \(\boldsymbol{u}\) に対応する数ベクトルは

\[ \boldsymbol{u} =\left( \begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right) \]

となるのでした。

また、\(f(\boldsymbol{u})\) も \(V^2\) のベクトルですから 適切な2つの数 \(x',y'\) を用いて、\[f(\boldsymbol{u} )= x'\boldsymbol{a} + y'\boldsymbol{b}\] と一意に書けるはずです。このとき、基底 \(<\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}>\) を使ったときの \(f(\boldsymbol{u})\) に対応する数ベクトルは

\[ f(\boldsymbol{u}) =\left( \begin{array}{r} x'\\ y' \end{array} \right) \]

とあらわすことができます。

ところで、\(\mathrm{O}\) のまわりの角 \(\alpha\) の回転 \(f\) は一次写像ですから、 \[ \begin{eqnarray} f(\boldsymbol{u}) &=& f( x \boldsymbol{a} + y \boldsymbol{b})\\ &=& f( x \boldsymbol{a} )+f( y \boldsymbol{b})\\ &=&xf(\boldsymbol{a}) + yf( \boldsymbol{b}) \end{eqnarray} \]

という計算が成り立ちます。

この式は、どんなベクトル \(\boldsymbol{u}\) の \(f\) による行き先 \(f(\boldsymbol{u})\)も、基底として選んだ2つのベクトル \(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\) の行き先 \(f(\boldsymbol{a}),f(\boldsymbol{b})\) によって決定されるということを意味しています。

そこで、 \(f(\boldsymbol{a}),f(\boldsymbol{b})\) について考えてみると、\(f(\boldsymbol{a}),f(\boldsymbol{b})\) は \(V^2\) のベクトルですから適当な数 \(p,q,r,s\) を用いて、

\[ \begin{eqnarray} f(\boldsymbol{a})&=&p\boldsymbol{a}+ q\boldsymbol{b}\\ f(\boldsymbol{b})&=&r\boldsymbol{a}+s\boldsymbol{b} \end{eqnarray} \]

とあらわされるはずです。ですから、

\[ \begin{eqnarray} f(\boldsymbol{u}) &=&xf(\boldsymbol{a}) + yf( \boldsymbol{b})\\ &=&x(p\boldsymbol{a}+ q\boldsymbol{b}) + y(r\boldsymbol{a}+s\boldsymbol{b})\\ &=&xp\boldsymbol{a}+xq\boldsymbol{b} +yr\boldsymbol{a}+ys\boldsymbol{b}\\ &=&(xp+yr)\boldsymbol{a} + (xq+ys)\boldsymbol{b} \end{eqnarray} \]

と計算できます。 ということは、 基底 \(<\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}>\) を使ったときの \(f(\boldsymbol{u})\) に対応する数ベクトルは

\[ f(\boldsymbol{u}) =\left( \begin{array}{r} xp+yr\\ xq+ys \end{array} \right) \] とあらわされることになります。

以上より、

\[ \left( \begin{array}{r} x'\\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} xp+yr\\ xq+ys \end{array} \right) \] であることがわかりますが、行列の計算を知っていれば、これは

\[ \left(\begin{array}{r} x'\\ y' \end{array} \right) = \begin{pmatrix} p & r\\ q & s\end{pmatrix} \left(\begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right) \]

と書いてあるのと同じであることがわかるでしょう。

ここに現れた行列 \(\begin{pmatrix} p & r\\ q & s\end{pmatrix}\) を一次写像 \(f\) をあらわす行列といいます。

ここで注目したいのは、一次写像 \(f\) をあらわす行列の第 1 列には \(f(\boldsymbol{a})\) に対応する数ベクトル、第 2 列には \(f(\boldsymbol{b})\) に対応する数ベクトルが現れているということです。

回転をあらわす行列

ではここで話を回転に限ることにして、回転を取り扱うのに都合の良い基底である \(<\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2>\) を使うことにします。 \(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\) はどちらも長さが \(1\) で直交し、始点を原点 \(\mathrm{O}\) にそろえたとき、\(\boldsymbol{e}_1\) を 反時計回りに \(\frac{\pi}{2}\) 回転すると \(\boldsymbol{e}_2\) に重なります。

\(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\) をそれぞれ \(\mathrm{O}\) のまわりに角 \(\alpha\) 回転させたもの \(f(\boldsymbol{e}_1),f(\boldsymbol{e}_2)\) がどのようなものになるのか考えてみましょう。次の図を見てください。

\(\cos\alpha\) と \(\sin\alpha\) の定義を思い出し、図を見て考えれば、

\[ \begin{eqnarray} f(\boldsymbol{e}_1)&=&\cos\alpha\cdot\boldsymbol{e}_1+ \sin\alpha\cdot\boldsymbol{e}_2\\ f(\boldsymbol{e}_2)&=&-\sin\alpha\cdot\boldsymbol{e}_1+\cos\alpha\cdot\boldsymbol{e}_2 \end{eqnarray} \]

であることがわかります。 ですから、基底 \(<\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2>\) を使うと \(\mathrm{O}\) のまわりの角 \(\alpha\) の回転 \(f\) は

\[ \left(\begin{array}{r} x'\\ y' \end{array} \right) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \left(\begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right) \] とあらわされることがわかります。

まとめ

平面のベクトルの空間 \(V^2\) のどのベクトルに対してもある新しいベクトルを対応させる決まり \(f\) のうち

\[ \begin{eqnarray} f(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) &=& f(\boldsymbol{u})+f(\boldsymbol{v})\\ f(r\boldsymbol{u}) &=& rf(\boldsymbol{u}) \end{eqnarray} \] という性質をもつものを \(V^2\) の一次写像といいます。

平面に何らかの座標系を設けることにより、幾何ベクトルは数ベクトルで、一次写像は行列であらわすことができます。

\(V^2\) に何らかの 基底 \(<\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}>\) を決めておくと、一次写像 \(f\) の挙動は \(f(\boldsymbol{a}),f(\boldsymbol{b})\) がどんなベクトルになるのかを調べるとすべてわかってしまいます。

\(V^2\) の何らかの基底を（座標系の代わりに）決めることにより、幾何ベクトルは数ベクトルで、一次写像は行列であらわすことができます。

幾何ベクトルを（縦に数が並んだ）数ベクトルであらわし、一次写像を行列であらわす場合、ベクトルに行列を左から掛けることにより変換後のベクトルが得られます。

右手系の直交座標系や基底 \(<\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2>\) を使うと \(\mathrm{O}\) のまわりの角 \(\alpha\) の回転は行列 \[\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\] であらわされます。